UMA PROGRESSÃO MUITO ESPECIAL

Quando estudamos a matemática da música, em seus vários aspectos, como, por exemplo, na análise das seqüências das notas sonoras, percebemos que os valores das freqüências das seqüências de notas de uma oitava, formam uma progressão geométrica, cuja razão é igual a dois elevado a um doze avos, ou seja, 1.0594631.

2^1/12=1.0594631

Assim, podemos imaginar essa progressão geométrica com o primeiro termo igual a unidade, e os termos subseqüentes obtidos através das multiplicações sucessivas por 1.0594631. Obtemos, então a seguinte seqüência:

1 - 1.0594631 - 1.12246206 - 1.8920713 - 1.2599211 - 1.3348399 - 1.4142136 - 1.4983071 - 1.5874011 - 1.6817919 - 1.7817975 - 1.8877487 - 2.0

Temos aqui uma seqüência de 13 termos em progressão geométrica que representa a seqüência das notas da escala musical igualmente temperada, pois 12 são seus intervalos musicais compondo uma oitava. O número 2, sobre o número 1,0594631 corresponde ao primeiro intervalo. O décimo terceiro termo já pertence à próxima oitava. Se você começa pela nota DO - (1), quando tiver subido uma oitava, a freqüência dessa nota será o dobro. Assim, se a nota escolhida for a nota LA2, que sabemos tem uma freqüência de 220 Hz, quando tivermos percorrido a oitava toda, a freqüência será de 440 Hz.

NÚMEROS PRIMOS EM PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Um número inteiro positivo é primo se ele é divisível apenas por 1 ou por ele mesmo. Embora a noção de número primo pareça óbvia, questões envolvendo números primos não são fáceis de serem respondidas. Por exemplo, todo número ímpar pode ser expresso na forma 4x + 1 ou 4x + 3; portanto, perguntamos quais são os primos da forma 4x + 1 e quais são os primos da forma 4x + 3. Será que se gerarmos as seqüências numéricas da forma acima, substituindo-se x por inteiros positivos, as seqüências resultantes apresentarão um número infinito de números primos?

Primeiro observa que, se gerarmos a seqüência de números da forma 4x + 3:

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 87

a diferença entre um termo da seqüência e o seu antecessor é sempre igual a 4. O mesmo ocorre em relação às seqüências 4x + 1, 6x + 1 ou 6x + 5. De fato, estas são chamadas seqüências aritméticas.

Euclides deu uma demonstração bastante engenhosa de que existe um número infinito de números primos. Além disso, também provou que existem infinitos primos da forma 4x +3. Mas será existe um número infinito de primos da forma 4x + 1? A resposta é afirmativa! E, naturalmente, surge uma outra pergunta:

Será que pode ser generalizado o fato de existirem infinitos primos em algumas progressões aritméticas?

Observe que as progressões citadas acima são da forma b + ax onde a e b são fixados e x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., isto é, elas são da forma

b, b + a, b + 2a, b + 3a, b + 4a, ...

Se a e b possuem um fator comum, então a progressão aritmética não contém números primos, pois todo elemento da progressão tem esse fator. Isso sugere que devemos considerar progressões b + ax em que a e b sejam primos entre si para obtermos um número infinito de primos. Parece que o matemático Legendre foi o primeiro a perceber a importância dessa questão e, em 1808, publicou a seguinte conjectura: “Se a ≥ 2 e b ≠ 0 são inteiros positivos e primos entre si, então existe uma infinidade de números primos na progressão aritmética

b, b + a, b + 2a, b + 3a, ... .”

Essa conjectura se transformou em um teorema de grande importância e foi demonstrada por Dirichlet em 1837. Esse resultado foi monumental por uma série de razões. Dirichlet baseou-se na idéia original de Euler para demonstrar a infinitude dos primos. Foram utilizados métodos analíticos revolucionários e muitos outros conceitos até então estranhos à teoria dos números inteiros. Em 1949, o matemático Atle Selberg deu uma demonstração elementar do teorema de Dirichlet, análoga à demonstração que dera anteriormente do teorema do número primo.

Dirichlet também demonstrou que qualquer forma quadrática em duas variáveis, isto é, qualquer forma do tipo ax² + bxy + cy² onde a, b, c, são primos entre si, geram uma infinidade de primos. Não se sabe muito sobre outras formas que gerem infinitos números primos.

Por fim, podemos demonstrar que não existe progressão aritmética em que todos os termos são números primos. Até o século passado, um velho problema em aberto consistia em se determinar uma progressão aritmética arbitrariamente longa, porém finita em que todos os termos fossem números primos.

Poliedros de Platão

Como já sabemos, poliedros são sólidos formados por polígonos, como quadrados, triângulos, pentágonos, hexágonos, etc. Alguns exemplos de poliedros são prismas e cubos. No dia a dia, estamos cercados por poliedros, basta olhar para os prédios a nossa volta.
Porém, há alguns tipos especiais de poliedros, são os chamados poliedros de Platão. A principal característica desses poliedros é que eles são formados apenas por polígonos regulares, ou seja, polígonos que possuem todos os lados com a mesma medida e todos os ângulos com a mesma medida e, que existem apenas 5 poliedros desse tipo. São eles:
		Cubo: formado por 6 quadrados. Tetraedro regular: formado por 4 triângulos eqüiláteros Octaedro regular: formado por 8 triângulos eqüiláteros Dodecaedro regular: formado por 12 pentágonos regulares Icosaedro regular: formado por 20 triângulos eqüiláteros
Além desses 5 não existe nenhum outro poliedro formado apenas por polígono regulares. Veja abaixo um desenho desses poliedros.

Fibonacci quando examinava o Triângulo Chinês (que é o nosso conhecido Triângulo de Pascal) dos anos 1300, observou que esta seqüência numérica aparecia naquele documento. O aparecimento dava-se através da soma de vários números binomiais localizados acima e ao lado direito do número anterior.

Veja mais curiosidades no link abaixo:

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm101/curiosidades.html

PROBABILIDADE

A palavra probabilidade deriva do Latim probare (provar ou testar). Informalmente, provável é uma das muitas palavras utilizadas para eventos incertos ou conhecidos, sendo também substituída por algumas palavras como “sorte”, “risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”, dependendo do contexto.

A idéia geral da probabilidade é frequentemente dividida em dois conceitos relacionados:

• Probabilidade aleatória, que representa uma série de eventos futuros cuja ocorrência é definida por alguns fenômenos físicos aleatórios. Este conceito poder ser dividido em fenômenos físicos que são previsíveis através de informação suficiente e fenômenos que são essencialmente imprevisíveis. Um exemplo para o primeiro tipo é uma roleta, e um exemplo para o segundo tipo é um vazamento radioativo.

• Probabilidade Epistemológica, que representa nossas incertezas sobre proposições quando não se tem conhecimento completo das circunstâncias causativas. Tais proposições podem ser sobre eventos passados ou futuros, mas não precisam ser. Alguns exemplos de probabilidade epistemiológica são designar uma probabilidade à proposição de que uma lei da Física proposta seja verdadeira, e determinar o quão "provável" é que um suspeito cometeu um crime, baseado nas provas apresentadas.

É uma questão aberta se a probabilidade aleatória é redutível à probabilidade epistemiológica baseado na nossa inabilidade de predizer com precisão cada força que poderia afetar o rolar de um dado, ou se tais incertezas existem na natureza da própria realidade, particularmente em fenômenos quânticos governados pelo princípio da incerteza de Heisenberg. Embora as mesmas regras matemáticas se apliquem não importando qual interpretação seja escolhida, a escolha tem grandes implicações pelo modo em que a probabilidade é usada para modelar o mundo real.

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Teoria dos grafos

A Teoria dos Grafos não é uma teoria: é uma coleção de problemas. Todos esses problemas são formulados sobre um objeto combinatório conhecido como grafo. Os problemas tornaram-se célebres porque ocorrem em diversas áreas da computação, da engenharia, e em muitas aplicações industriais.

O problema mais famoso da teoria dos grafos é conhecido como As pontes de Königsberg, que pode ser enunciado como:

Na cidade de Königsberg sete pontes cruzam o rio Pregel estabelecendo ligações entre duas ilhas e entre as ilhas e as margens opostas do rio, conforme a figura abaixo. É possível fazer um passeio pela cidade, começando e terminando no mesmo lugar, cruzando cada ponte exatamente uma vez?

Euler resolveu o problema transformando-o num problema de grafos. Euler associou a esse problema o seguinte esquema:

Onde cada linha representa uma ponte e os círculos representam as margens e as ilhas. Em linguagem de grafos, as linhas são chamadas de arcos e os círculos, de nós. O esquema acima é chamado de circuito. Assim, o problema consiste em achar um circuito que percorra cada arco uma única vez. Os grafos os quais isto é possível são chamados de eulerianos. Definimos o grau de um nó como sendo o número de arcos incidentes no nó. Um resultado devido a Euler diz que um grafo conexo é euleriano se, e somente se, cada nó tem grau par. Portanto, o grafo acima não é euleriano. Logo, não é possível fazer o passeio pela cidade começando e terminando no mesmo lugar cruzando cada ponte uma única vez.

GEOMETRIA PLANA

Os Elementos é a principal obra de Euclides. Os Elementos (c. 300 a.C.), constitui um dos mais notáveis compêndios de Matemática de todos os tempos, com mais de mil edições desde o advento da imprensa. O livro começa com uma seqüência de Definições, procede com uma seqüência de Postulados e depois uma seqüência de Noções Comuns antes de partir para as demonstrações matemáticas. Em termos de lógica matemática moderna, os postulados são chamados Axiomas e as noções comuns são chamadas de regras de inferência, sendo as regras de inferência apresentadas antes dos axiomas. Um axioma é uma sentença ou proposição que não é provada ou demonstrada e é considerada como óbvia ou como um consenso inicial necessário para a construção ou aceitação de uma teoria. Por essa razão, é aceito como verdade e serve como ponto inicial para dedução e inferências de outras verdades (dependentes de teoria).

Na matemática, um axioma é uma hipótese inicial na qual outros enunciados são logicamente derivados. Pode ser uma sentença, uma proposição, um enunciado ou uma regra que permite a construção de um sistema formal. Diferentemente de teoremas, axiomas não podem ser derivados por princípios de dedução e nem são demonstráveis por derivações formais, simplesmente porque eles são hipóteses iniciais. Isto é, não há mais nada a partir do que eles seguem logicamente (em caso contrário eles seriam chamados teoremas). Em muitos contextos, "axioma", "postulado" e "hipótese" são usados como sinônimos.